À travers le cas d’une discipline, les mathématiques, y a-t-il en ZEP un enseignement ordinaire ou spécifique ?

Pour répondre à la question, nous présentons des résultats de recherches menées collectivement par des chercheurs du laboratoire de didactique André Revuz^[1]Butlen D., Charles-Pézard M., Masselot P., Peltier M-L., Ngono B., Perrin M-J., Robert A. sur les difficultés d’apprentissage des élèves en mathématiques et sur des pratiques de professeurs (notamment du premier degré) enseignant les mathématiques à des élèves relevant de l’éducation prioritaire. Ces résultats rejoignent d’autres résultats de recherches menées en didactique des mathématiques mais aussi dans d’autres champs disciplinaires^[2]Il s’agit notamment de chercheurs de l’équipe ESCOL : Bautier E., Rochex J-Y., Bonnery S., Crinon J. mais aussi de chercheurs d’autres laboratoires Cèbe S., Goigoux R.. Nous renvoyons le lecteur à un rapport sur l’enseignement des mathématiques rédigé dans le cadre d’une conférence de consensus organisée par le CNESCO^[3]CNESCO : Le Centre National d’Etude des Systèmes Scolaires évalue, analyse et accompagne des politiques, dispositifs et pratiques scolaires. Il vise à améliorer la connaissance des systèmes scolaires français et étrangers afin de créer des dynamiques de changement dans l’école. Il est rattaché au Conservatoire national des arts et métiers (Cnam) depuis le 1^er septembre 2019 au sein du laboratoire Formation et apprentissages professionnels (Foap). (Butlen, Charles-Pézard, Masselot, 2015).

Nous montrons comment les difficultés rencontrées par les élèves peuvent se conjuguer, voire se renforcer en raison de certaines pratiques enseignantes. Nous mettons ainsi en évidence un processus dialectique de construction des difficultés d’apprentissage des mathématiques pouvant conduire des élèves, notamment issus de milieux socialement défavorisés, à manifester des connaissances de plus en plus fragiles.

Dépasser ces difficultés, élaborer des alternatives en termes d’enseignement constituent un défi posé au système éducatif, à la recherche, à la formation et plus généralement, à la société.

Des difficultés des élèves aux élèves en difficulté, quelques résultats de recherche

Plusieurs caractéristiques sont susceptibles d’être observées chez un élève en difficulté en mathématiques (Perrin-Glorian, 1993 ; Butlen 2007). Ce dernier ne les présente pas toutes, mais des phénomènes de convergence, de seuil et de cumul concourent souvent à l’accumulation de difficultés. Citons notamment :

• une difficulté à capitaliser les savoirs et un manque de confiance dans les connaissances anciennes ;
• une certaine carence dans les représentations mentales et une absence fréquente de projet implicite de réinvestissements se traduisant souvent par une grande difficulté à identifier les enjeux d’apprentissage des situations proposées ;
• une difficulté à changer de point de vue et un manque de flexibilité cognitive s’accompagnant souvent d’une recherche de règles, voire de recettes ;
• une difficulté à accomplir les tâches complexes et une demande de relation privilégiée à l’adulte.

Dès 1992, Perrin-Glorian met en évidence un cercle vicieux dans lequel pourraient être entraînés professeurs et élèves conduisant à un renforcement des difficultés d’apprentissage. Devant répondre aux demandes d’aide des élèves ne pouvant réaliser les tâches prescrites, les professeurs sont souvent amenés à réduire leurs exigences, à apporter des aides qui souvent transforment les tâches initiales en les simplifiant. Les élèves les plus en difficulté ne sont alors pas confrontés aux mêmes activités que leurs pairs. Les apprentissages potentiels susceptibles d’être induits ne sont alors plus les mêmes. Ces aides et réponses maintiennent à moyen terme certains élèves dans leur difficulté. Ces premières recherches ont été développées, affinées et enrichies dans les années suivantes afin de mieux comprendre à la fois les difficultés des élèves et les relations entre difficultés d’apprentissage et pratiques enseignantes.

Plusieurs éléments sont susceptibles d’expliquer certaines des difficultés rencontrées par les élèves. Nous en présentons deux. Le premier a trait aux effets d’une absence d’identification des enjeux d’enseignement par les élèves sur leurs apprentissages potentiels au quotidien et aux limites des interventions des enseignants pour les aider à dépasser ce manque. Le deuxième concerne une pratique enseignante fréquente et confortée par des injonctions institutionnelles : celle consistant à privilégier une stratégie de remédiation plutôt que de favoriser des cheminements cognitifs mieux adaptés aux difficultés des élèves.

1. Absence d’identification des situations et limites des remédiations

Une caractéristique importante se manifeste chez les élèves en difficulté en calcul mental (Butlen, Charles-Pézard, 2007) : la forte tendance à se réfugier dans des procédures de calcul automatisées au détriment d’autres procédures prenant en compte les propriétés des nombres et des opérations en jeu.

Comparons deux types de procédures susceptibles d’être mobilisées par des élèves de fin de CM2 ou de début de collège pour calculer 32 x 25.

Des d’élèves (souvent les plus en difficulté) simulent fréquemment à un moment ou un autre du calcul une opération mentalement posée alors qu’une faible minorité d’élèves (souvent des élèves les plus performants) mobilisent des procédures faisant intervenir des décompositions multiplicatives des nombres comme : 32 x 25 = 8 x 4 x 25 = 8 x 100 = 800.

Ces procédures se différencient par la qualité des connaissances mobilisées et par leur coût en mémoire et en calcul mais aussi par les apprentissages potentiellement provoqués à cette occasion. Dans le premier cas, l’élève fait appel à des connaissances relevant du CE1 (tables de multiplication par 2, 3 et 5 et addition) alors que dans le second cas, l’élève mobilise et combine des connaissances plus riches sur les diviseurs et multiples des nombres 32, 25 et 100. De plus, l’économie réalisée en termes de gestion des calculs et en mémoire est très importante.

Sans un enseignement de calcul mental visant spécifiquement à combler le manque d’adaptabilité manifesté par certains élèves, deux dynamiques peuvent s’installer dans la classe. L’absence ou la présence de prérequis numériques des élèves va initialiser ces dynamiques et conduire ou non à un déficit en termes d’apprentissage. L’élève qui possède suffisamment de connaissances disponibles sur les décompositions des nombres va pouvoir les convoquer pour mobiliser des procédures plus économiques car plus adaptées. Il est ainsi amené à davantage explorer les propriétés des nombres et les opérations. Cette exploration contribue à enrichir ses connaissances numériques, à les rendre plus disponibles et donc à accroître les possibilités d’explorer de nouvelles procédures, de les mobiliser à bon escient. Cette première dynamique est productrice d’apprentissages. En revanche, si les connaissances de l’élève sont plus limitées, se réfugiant dans des procédures apparemment plus sûres mais beaucoup plus coûteuses, il ne peut bénéficier des mêmes expériences numériques. Un déficit cognitif peut alors se creuser entre cet élève et le précédent.

Pour être producteur de connaissances, un enseignement de calcul mental doit permettre ces adaptations en laissant vivre des procédures non standards et avoir pour objectif de développer suffisamment de connaissances afin d’initialiser la première dynamique et de pallier les manques éventuels.

L’enseignement du calcul mental est donc paradoxal : trop peu d’automatismes (au sens de trop peu de procédures automatisées et de faits numériques mémorisés) peut renforcer l’automatisme (au sens du comportement automatisé) ; davantage d’automatismes peut permettre d’échapper à l’automatisme. Nous avons désigné ce phénomène par l’expression « paradoxe de l’automatisme » (Butlen, 2007).

Un dispositif d’enseignement ayant pour objectif d’installer les pré-requis qui faisaient défaut (Butlen, 2007) s’est révélé relativement efficace pour les élèves de niveau moyen et moyen faible, il a eu nettement moins d’effets sur les apprentissages comme sur les performances des élèves les plus en difficulté. Ce constat peut s’expliquer par la nature de l’activité de l’élève de CM2, développée lors de calculs mentaux. Devant calculer mentalement 32 x 25, pour optimiser ses chances de réussite, il doit percevoir très vite l’enjeu d’apprentissage sous-jacent : non pas produire un résultat automatisé (installé en mémoire à long terme) mais mobiliser et adapter une connaissance de ce type dans le cadre d’un calcul plus complexe. Il doit faire la différence entre les calculs qui nécessitent une réponse « automatisée » et ceux qui demandent une adaptation et comprendre que le but de l’activité n’est pas de produire un résultat mais d’explorer, à l’occasion de cette production, les propriétés des nombres et des opérations.

Si une pratique régulière de calcul mental permet en général progressivement aux élèves d’apprendre à déterminer ces enjeux et donc de profiter de ce type d’activités, les élèves les plus en difficulté s’en révèlent, malheureusement, souvent incapables. Une explicitation directe de ces enjeux n’est pas possible car cela amènerait le professeur à effectuer le calcul à la place de l’élève et à le cantonner dans une tâche de reproduction. Une explicitation différée est peut-être plus abordable mais se révèle souvent incompréhensible par l’élève en grande difficulté qui n’a pu en faire l’expérience dans l’action.

2. Nécessité de ménager des cheminements cognitifs spécifiques aux élèves en difficulté, un domaine encore peu exploré par les recherches en didactique des mathématiques

Dans le souci de mieux expliciter les enjeux de savoirs des situations d’apprentissage, des activités de bilan de savoirs et de construction d’une mémoire collective de la classe ont été testées. Les élèves doivent périodiquement (toutes les deux ou trois semaines) produire collectivement un texte résumant « tout ce qui a été appris et qu’il est important de retenir dans la période qui a précédé » (Butlen, 2007). Ce type de situations de production d’écrit, basé sur un débat entre pairs, permet d’aménager des cheminements cognitifs particuliers, profitables pour certains élèves en difficulté. C’est le cas notamment de la production collective de textes de statut intermédiaire entre l’énoncé très contextualisé (un exemple isolé de calcul par exemple) et l’énoncé décontextualisé, formel, d’une règle ou d’une propriété mathématique. Les élèves produisent collectivement des énoncés de règles ou de propriétés s’appuyant sur un exemple générique élaboré lors du débat entre pairs ou s’en accompagnant. Ce recours au générique révèle une étape indispensable, pour certains élèves, dans le processus de conceptualisation. Cette production n’est pas l’énoncé du professeur mais le résultat d’un compromis entre différents niveaux cognitifs existant dans la classe.

Les effets de ce type de situations sur les apprentissages des élèves les plus en difficulté restent limités. En effet, le changement de posture demande du temps ; des habitudes de travail précédemment installées peuvent s’opposer à cette évolution.

Pratiques de professeurs des écoles enseignant les mathématiques en éducation prioritaire

1. Les recherches sur les professeurs des écoles enseignant les mathématiques dans des écoles scolarisant un public socialement très défavorisé

Des analyses qualitatives ont permis de caractériser les pratiques observées, de dégager un modèle permettant de décrire leur organisation et d’identifier ce que nous avons qualifié de « grandes questions de la profession ».

Une observation naturelle des pratiques a mis en évidence une catégorie de pratiques très majoritaire se caractérisant par des scénarios faisant une place importante à des taches algorithmisées, peu riches, s’accompagnant d’une réduction très rapide, voire anticipée, des exigences en matière de contenus et de durée des phases de recherches individuelles ou collectives ainsi que d’une quasi absence de phases de synthèse et d’institutionnalisation. Cette pratique s’accompagne d’une individualisation non contrôlée de l’enseignement et d’une différenciation sous forme de fiches et de tutorat qui s’oppose à la gestion des phases collectives et d’institutionnalisation.

Bien que très minoritaires, des pratiques alternatives susceptibles a priori de provoquer des apprentissages plus riches ont été observées.

2. Trois problèmes du métier : installer une paix scolaire, exercer une vigilance didactique, gérer la tension entre dévolution et institutionnalisation

Trois grandes questions posées à la profession dont les modes de réponses organisent les pratiques des professeurs des écoles enseignant les mathématiques en éducation prioritaire.

a. L’installation d’une paix scolaire

Une des premières questions à régler pour un professeur est d’installer les conditions suffisantes à son enseignement dans le cadre collectif défini par la classe et l’établissement, installer la paix scolaire selon Charles-Pézard et al. (2012). Cette expression associe paix sociale (respect des règles de fonctionnement en classe et à l’école, indispensables à la relation didactique) et adhésion de l’élève au projet d’enseignement du professeur. Nécessaire pour enseigner, la manière d’installer la paix scolaire conditionne ou peut conditionner les contenus de cet enseignement. Inversement, la qualité des mathématiques proposées conditionne, dans une certaine mesure, le mode d’installation de la paix scolaire.

b. L’exercice de la vigilance didactique

Charles-Pézard (2010) définit la vigilance didactique comme une sorte d’ajustement didactique permanent de la part du professeur faisant appel aux composantes cognitive et médiative4 des pratiques et s’exerçant dans les trois niveaux global, local et micro. Le travail de l’enseignant comporte au moins deux éléments principaux, largement interdépendants : préparer sa classe/élaborer son projet et gérer les déroulements en classe/mettre en actes son projet. La vigilance didactique est une manière de rendre compte du rôle joué par la maîtrise des contenus mathématiques à enseigner dans les grands choix effectués par le professeur, de le cerner mais aussi d’en préciser certaines limites. La maîtrise des contenus est nécessaire mais ne suffit pas. D’autres connaissances, didactiques, sont nécessaires à l’enseignement des mathématiques. Ces connaissances mathématiques et didactiques s’opérationnalisent dans l’action du professeur.

c. La gestion du couple dévolution/institutionnalisation

Brousseau définit deux grands moments de l’activité du professeur : le processus de dévolution et le processus d’institutionnalisation (Brousseau 1987).

Le processus de dévolution décrit l’ensemble de l’activité du professeur qui consiste à amener l’élève à s’approprier le problème à résoudre, à mobiliser les connaissances nécessaires et à assumer la responsabilité de la résolution. La dévolution est un élément important du contrat didactique. Il ne suffit pas de « communiquer » un problème à un élève pour que ce problème devienne son problème et qu’il se sente seul responsable de sa résolution. Il ne suffit pas, non plus, que l’élève accepte cette responsabilité pour que le problème qu’il résout soit un problème « universel » dégagé de présupposés subjectifs. La dévolution ne porte pas sur l’objet de l’enseignement mais sur les situations qui le caractérisent. C’est un processus qui porte sur toutes les situations.

“ Le processus d’institutionnalisation vise à donner aux connaissances éventuellement mobilisées par les élèves un statut de savoir culturel et social. ”

Le processus d’institutionnalisation vise à donner aux connaissances éventuellement mobilisées par les élèves un statut de savoir culturel et social. Les professeurs doivent prendre acte de ce que les élèves ont fait, décrire ce qui s’est passé et qui a un rapport avec la connaissance visée, donner un statut aux événements de la classe comme résultat des élèves et comme résultat de l’enseignant, assumer un objet d’enseignement, l’identifier, rapprocher ces productions des connaissances des autres (culturelles ou du programme), indiquer qu’elles peuvent resservir.

“ Les enseignants exerçant en éducation prioritaire réduisent, voire font disparaître, les phases d’institutionnalisation. ”

La gestion conjointe de ces deux processus se fait souvent au détriment du second. Les enseignants exerçant en éducation prioritaire réduisent, voire font disparaître les phases d’institutionnalisation. Ce phénomène est lié à l’exercice de la vigilance didactique mais ne s’y réduit pas. Il témoigne d’une résistance de ces enseignants à l’institutionnalisation. Gérer le processus d’institutionnalisation nécessite une bonne maîtrise des contenus et des enjeux d’apprentissages, une habitude à lire les procédures et les connaissances mobilisées par les élèves, à les hiérarchiser et à prévoir des traitements adéquats en fonction des savoirs visés.

Mais cette gestion nécessite aussi un changement de « posture » insuffisamment traité en termes de recherche comme en termes de formation. Lors du processus de dévolution, « faisant confiance » à la situation et à ses élèves, le professeur doit se mettre en retrait, « s’effacer » suffisamment pour permettre aux élèves de construire ou de mobiliser les connaissances nécessaires. En revanche, la mise en œuvre du processus d’institutionnalisation nécessite qu’il reprenne la main, qu’il « dévoile » l’objet de son enseignement en tenant compte de ce qui s’est effectivement passé, qu’il assure explicitement la fonction de détenteur du savoir. Ces postures sont différentes, voire contradictoires, le passage de l’une à l’autre n’est pas aisé et cette difficulté est encore rarement pointée au cours de la formation qui privilégie souvent la dévolution au détriment de l’institutionnalisation.

Ce défaut d’institutionnalisation nous semble dommageable pour les élèves en difficulté qui ont besoin de ces repères. D’autres didacticiens (Coulange, 2012 ; Laparra et Margolinas, 2008) ont mis en évidence cette résistance à l’institutionnalisation.

Conclusion

Les effets différenciateurs potentiels des pratiques enseignantes sur les apprentissages, en particulier ceux des élèves les plus fragiles, posent la question de l’enrichissement de ces pratiques. Une réponse possible est que l’enseignant joue sur la diversité des situations proposées, des leviers mobilisés afin de favoriser la mise en œuvre au quotidien d’alternatives fondées sur une telle diversité. Il semble aussi que, s’il est illusoire et même peut-être risqué de tout expliciter, il est important de réduire une part de l’implicite des pratiques : en lien avec la dévolution des enjeux d’apprentissage et de savoirs et avec l’institutionnalisation.

Mais cela ne peut se faire que si l’enseignant lui-même a conscience des enjeux des situations qu’il propose, ce qui ramène à la qualité de l’exercice de sa vigilance didactique (Charles-Pézard, 2010). La dimension « installer la paix scolaire » permet d’aborder d’un point de vue didactique, la question plus globale de la gestion de la classe. De même, la maîtrise intégrée des savoirs mathématiques, des savoirs et des enjeux didactiques est une question centrale pour les formateurs de mathématiques intervenant dans la formation des professeurs des écoles (Charles-Pézard et al, 2012). La manière de poser cette question en termes de vigilance didactique peut leur permettre d’unifier leur intervention en ciblant et en articulant les contenus mathématiques, les contenus didactiques et les routines et gestes professionnels associés à leurs mises en œuvre à travers des analyses de pratiques de classe. Enfin, il semble nécessaire de développer des recherches portant spécifiquement sur le processus d’institutionnalisation et sur les textes de savoirs à dispenser à l’école.

Denis Butlen
Professeur des universités émérite,
Université de Cergy Pontoise,
Didacticien des mathématiques

Bibliographie

Brousseau, G. (1987). Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques. Recherches en didactique des mathématiques 7(2), 33–116.

Butlen, D. (2007). Le calcul mental entre sens et technique. Presses Universitaires de Franche-Comté, Besançon.

Butlen, D. et Charles-Pézard, M. (2007). Conceptualisation en mathématiques et élèves en difficulté. Le calcul mental entre sens et technique. Grand N 79, 7–32.

Butlen, D., Charles-Pézard, M., Masselot, P. (2015). Apprentissages et inégalités au primaire : le cas de l’enseignement des mathématiques en éducation prioritaire, rapport pour la conférence de consensus nombre et calcul au primaire, consultable en ligne : http://www.cnesco.fr/wp-content/uploads/2015/11/Enseignement-en-%C3%A9ducation-prioritaire.pdf

Charles-Pézard, M. (2010). Installer la paix scolaire, exercer une vigilance didactique. Recherches en didactique des mathématiques 30(2), 197–261.

Charles-Pézard, M., Butlen, D., Masselot, P. (2012). Professeurs des écoles débutants en ZEP : quelles pratiques ? Quelle formation ? Grenoble : La Pensée Sauvage.

Coulange, L. (2012). L’ordinaire de l’enseignement des mathématiques, pratiques enseignantes et leurs effets sur les apprentissages des élèves. Habilitation à Diriger des Recherches, Université Paris Diderot.

Laparra, M. et Margolinas, C. (2008). Les premiers apprentissages de l’écrit : doxa et malentendus des écrits authentiques. Les didactiques et leur rapport à l’enseignement et à la formation,Bordeaux. http://www.aquitaine.iufm.fr/infos/colloque2008/cdromcolloque/communications/lapa.pdf

Perrin-Glorian, M.-J. (1993). Questions didactiques soulevées à partir de l’enseignement des mathématiques dans les classes faibles. Recherches en didactique des mathématiques 13(1.2), 5–118.

Robert, A., Roglaski, J., (2002). Le système complexe et cohérent des pratiques des enseignants de mathématiques : une double approche. Revue canadienne de l’enseignement des sciences, des mathématiques et des technologies 2(4), 505–528.

Rochex, J.-Y., Crinon, J. (2011). La construction des inégalités scolaires. Rennes, PUR.