« Manipuler » ou « manipulés »

Au moment où le ministère met en avant une méthode appelée imprudemment « méthode de Singapour » avec sa marchandisation associée, au prétexte que les élèves y mènent des activités mathématiques concrètes à partir de matériel attrayant il convient de revenir sur le rôle et la place de la manipulation et de l’expérience^[1]La place de l’expérience dans la construction des mathématiques en classe , Revue « petit x », n° 75, pp. 7-33, 2007. dans l’activité mathématique. Ce point est en effet mis en avant par les promoteurs de la « méthode ». L’enfant manipulerait, il schématiserait et enfin il passerait à l’abstraction. Cette sacralisation du bricolage^[2]Meirieu P. La riposte p.64 ed. Autrement, 2018 et l’illusion du schéma qui serait un langage spontané doit nous interpeler. Depuis 40 ans, les recherches en didactique des mathématiques ont montré à la fois l’importance de la manipulation dans la genèse d’une activité mathématique mais aussi les obstacles à l’acquisition de savoirs mathématiques qu’une manipulation mal organisée pourrait créer.

Pour préciser, je prendrai deux exemples classiques de situations : l’un en petite section de maternelle, l’autre en début de cours préparatoire en proposant deux variantes pour chaque situation et en les comparant.

En petite section de maternelle

Imaginons deux professeurs qui se donnent pour but de faire trier des graines à des élèves de petite section en demandant à ranger les graines par catégorie dans des boites différentes. Ces deux professeurs décident d’utiliser du matériel : ce sont 3 boites et 3 catégories de graines.

Le premier professeur organise un atelier dirigé ou autonome : 3 catégories de graines (quelques graines par catégorie) faciles à différencier et 3 boîtes sans couvercle sont posées en vrac devant chaque élève. La consigne est : “ mets les graines pareilles ensemble dans une boîte ”. Si la consigne n’est pas comprise, l’enseignant(e) peut effectuer rapidement un tri devant les élèves ou simplement montrer (en les ayant préparées) des boîtes ouvertes avec des graines déjà triées.

Le second professeur organise un atelier dirigé ou autonome : 3 catégories de graines (quelques graines par catégorie) faciles à différencier et 3 boîtes cette fois ci fermées. Sur le dessus de chacune de ces boites on a percé un trou qui permet de faire passer les graines (boite tirelire). La consigne est : “ mets les graines pareilles ensemble dans une boîte ”. Si la consigne n’est pas comprise, l’enseignant(e) peut effectuer rapidement un tri avec des boites ouvertes devant les élèves ou simplement montrer (en les ayant préparées) des boîtes ouvertes avec des graines déjà triées. Il ou elle dira qu’il faut obtenir le même résultat avec les boites fermées mais en faisant passer les graines par le trou.

Comparons ces deux moments de classe.

Dans ces deux situations, peu de choses ont changé. Le matériel est très proche et la consigne est la même. On pourrait dire que dans les deux situations les élèves manipulent. Et pourtant ils n’ont pas du tout la même activité cognitive. A la différence de la seconde situation, la première ne permet pas de faire exister un moment où l’intention de l’action, avant l’action, aurait sa place. Dans la seconde situation l’élève doit faire une hypothèse (bien sûr, dans sa tête et de façon implicite), mettre en mémoire, organiser son action et, plus tard, après que l’action est terminée, vérifier, en ouvrant les boites si l’action a permis de réaliser l’intention.

Si j’ai repris cet exemple classique c’est pour montrer que dès la petite section, les activités à caractère mathématique peuvent à peu de choses près se cantonner à du « bricolage », à des activités sans enjeu cognitif. « Mais pourquoi prendre des boites tirelires » dira un observateur naïf : mais parce que l’on n’est pas à l‘école maternelle pour former les élèves à trier des graines. L’objectif est d’une autre nature. En proposant à l’élève des boites tirelires nous lui proposons un jeu qui sollicite la mobilisation de savoirs utiles (concevoir une collection, énumérer une collection) à la construction ultérieure du nombre. Il suffit donc d’une légère modification de la situation avec ici une légère modification du matériel pour qu’une activité cognitive soit activée ou non. En somme, la première situation a du sens si elle est considérée par le professeur comme un moyen d’expliquer le règle d’un jeu qui se jouera dans la seconde situation.

Or nous allons voir, à l’aide d’un exemple lui aussi très classique que c’est une même légère modification du rapport à la manipulation qui, plus tard, permet une entrée dans l’écrit mathématique. Pour cela, allons voir en cours préparatoire :

En cours préparatoire

Imaginons deux professeurs qui se donnent pour but de faire concevoir que 4 + 3 font 7. Pour organiser leur séance de classe, ces deux professeurs décident d’utiliser du matériel : ce sont 2 boites et 7 cubes.

Scénario 1 : le premier professeur montre 4 cubes et les place dans une boite. Il écrit « 4 » au tableau. Il montre ensuite 3 cubes, les place dans l’autre boite. Il écrit « 3 » au tableau. Devant les élèves, il renverse le contenu de la seconde boite dans la première. Il fait compter le tout. Les élèves disent « 7 ». Le professeur approuve et complète au tableau en écrivant 4 + 3 = 7. Les élèves recopient sur leur cahier.

Scénario 2 : le second professeur, avec le même matériel montre 4 cubes et les place dans une boite. Il écrit « 4 » au tableau. Il montre ensuite 3 cubes, il les place dans l’autre boite. Il écrit « 3 » au tableau. Devant les élèves, il renverse le contenu de la seconde boite dans la première et ferme cette boite. Il donne alors la consigne : en écrivant sur votre cahier de brouillon, prévoyez le nombre de cubes qu’il y a dans la boite fermée. Lorsque vous aurez prévu, nous ouvrirons la boite pour vérifier.

Après un moment, les élèves annoncent leurs prévisions et la façon dont ils ont pu prévoir à l’aide d’un écrit ou/et de gestes (comptage à l’aide des doigts, dessins des boîtes et des objets, bâtonnets, numérotage, nombres écrits, etc.). La boite est ouverte et le professeur fait compter le tout. Les élèves disent « 7 ». Certaines prévisions s’avèrent donc justes, d’autres fausses. Le professeur complète au tableau en écrivant 4 + 3 = 7. Les élèves recopient sur leur cahier.

Comparons ces deux moments de classe.

Scénario 1 : le premier professeur a illustré à l’aide d’une manipulation ce qu’il veut faire apprendre : 4 + 3 = 7. Les élèves n’ont eu à aucun moment à prévoir un « résultat » qui serait issu d’une utilisation des signes « 4 » et « 3 ». L’écrit lié à ce moment est celui donné in fine par le professeur : 4 + 3 = 7.

Scénario 2 : le second professeur organise un moment afin que les élèves, à l’aide d’un langage écrit en devenir, prévoient un résultat. L’ouverture de la boîte permettra de valider (ou d’invalider) les prévisions. L’écriture 4 + 3 = 7 (écriture experte) qui sera donnée par le professeur sera une autre façon d’écrire ce que les élèves avaient rédigé. Les écrits liés à ce moment sont les écrits personnels et celui du professeur.

“ … le milieu matériel est le même. C’est le milieu d’apprentissage qui a changé. ”

Nous pouvons dire que dans ces deux moments de classe, le milieu matériel est le même. C’est le milieu d’apprentissage qui a changé. En comparant les deux tableaux, un visiteur pourra observer que les deux professeurs ont écrit le même texte : 4 + 3 = 7 et pourra conclure un peu rapidement que ces deux professeurs ont fait la même leçon.

Bilan

– L’idée communément admise, que, pour faire des mathématiques il faut manipuler, est donc porteuse de graves malentendus. Les deux scénarios de chacune de ces deux situations s’appuient sur une manipulation mais seul le second scénario de chacune propose une activité mathématique, c’est-à-dire une activité d’anticipation qui sollicite la mémoire (petite section) ou/et la re-présentation écrite (cours préparatoire). Dans les deux cas, l’élève est incité à construire un modèle. En petite section, le modèle est ce que l’élève se construit comme image mentale (« on dirait que cette boite est celle des grains de café », etc.), au cours préparatoire le modèle se construit à l’aide d’écrits.

“ La manipulation, si elle n’est pas intégrée dans un processus d’apprentissage, ne permet pas aux élèves de progresser, sauf pour ceux qui ont compris qu’au-delà de la manipulation, le seul enjeu était de retenir le savoir affiché par le professeur. ”

– La manipulation, si elle n’est pas intégrée dans un processus d’apprentissage, ne permet pas aux élèves de progresser, sauf pour ceux qui ont compris qu’au-delà de la manipulation, le seul enjeu était de retenir le savoir affiché par le professeur. Si le résultat peut être obtenu par l’action, les élèves n’ont pas à engager un travail cognitif et se bornent à faire des constats qui restent attachés au contexte.

“ Les moments d’anticipation au cours desquels l’action est suspendue à la réflexion sont les moments où l’activité mathématique prend toute sa place et ou les enjeux motivent les élèves. ”

– Les situations proposées dans les scénarios 1 sont peut-être utiles à mettre en œuvre dans le cas où des élèves seraient en difficulté pour comprendre le jeu. Mais le jeu lui-même est joué dans les scénarios 2. En d’autres termes, il convient de ne pas confondre l’explication de la règle d’un jeu et le déroulement du jeu lui-même. Les scénarios 1 sont ils destinés aux bons élèves ? Non, bien au contraire, la tendance à vouloir faire manipuler, selon les scénarios 1, les élèves qui sont en difficulté en mathématiques, sans qu’il y ait d’enjeu cognitif, ne fait que creuser l’écart. L’aide à dominante pédagogique consiste d’ailleurs à placer les élèves devant des scénarios de type 2 afin qu’ils comprennent bien les enjeux cognitifs de la situation. On pourrait d’ailleurs faire l’hypothèse que certains élèves sont en difficulté parce qu’ils n’ont pas rencontré de telles situations dans leur début de scolarité. Malheureusement, la tendance est encore forte de faire en sorte que plus les élèves sont en difficulté plus on les plonge dans du déjà fait, du déjà vu, de l’entraînement^[3]Rapport sur l’individualisation (CNESCO sept 2016) : http://www.cnesco.fr/wp-content/uploads/2016/09/160926-Inegalites-scolaires.pdf.

Conclusion

Passer « du monde concret… à une vision abstraite » est une vieille lune centenaire qui fait toujours malheureusement recette. Nous avons vu que, comme dans tout jeu, les moments d’anticipation au cours desquels l’action est suspendue à la réflexion sont les moments où l’activité mathématique prend toute sa place et ou les enjeux motivent les élèves. C’est donc la place et le rôle de la manipulation qui importent afin qu’une activité cognitive s’exerce. Ne renonçons pas, au nom d’une mode datée et sous la pression des marchands du temple, à créer des espaces propices aux acquisitions mathématiques et ceci de la petite section jusqu’au collège.

Joël Briand
Maître de conférences honoraire en mathématiques
Université de Bordeaux